Урок по геометрии 10 класс "Теорема Эйлера и ее применение"
Материал из KM-Wiki.
Содержание |
УРОК: «Теорема Эйлера и её применение»
Предмет
Геометрия
Тема
Теорема Эйлера и её применение.
Класс
10класс
Автор
- Педагог: Козлович Ольга Геннадьевна, учитель математики
- Учреждение образования: МОУ «Средняя общеобразовательная школа №1»
- Город: г. Тихвин Ленинградской области
Цели и задачи
- познакомить учащихся с теоремой Эйлера.
Целесообразность ознакомления учащихся с теоремой Эйлера обосновывается тем, что:
- 1) эта теорема выражает топологическое свойство многогранника, т.е. даёт интересный и вполне доступный пониманию учащихся пример такого свойства, которое сохраняется при самых глубоких преобразованиях многогранника, исключающих лишь разрыв и склеивание;
- 2) Доказательство этой теоремы может быть выполнено методом математической индукции, представляя собой интересный пример применения этого метода;
- 3) Эта теорема служит основой для более строгого построения правильных многогранников.
- 4) Кроме того, теорема Эйлера прекрасный повод вспомнить биографию замечательного учёного Леонарда Эйлера.
- пробудить интерес к изучаемой теме, мотивировать каждого ученика к учебной деятельности;
- развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы,
- развивать устную математическую речь, память, а также самостоятельность в мышление и учебной деятельности; - развитие исследовательской и познавательной деятельности.
Описание хода урока
В основе построения данного урока были использованы методические рекомендации А.А. Столяра.
Правильный многогранник определяется как многогранник, удовлетворяющий двум условиям:
- А) все грани – правильные и равные между собой многоугольники;
- Б) все многогранные углы равны между собой. (Гиперссылки на энциклопедические статьи – правильные многоугольники, многогранный угол.) Из условия А) следует, что все грани правильного многогранника одноимённые многоугольники, т.к. треугольник не равен четырёхугольнику. Из условия Б) следует, что все многогранные углы правильного многогранника одноимённы.
Естественно возникает вопрос о существовании таких видов многогранников, хотя бы одного.
Обычно учащиеся называют куб. Действительно, данный многогранник удовлетворяет условиям А) и Б). Значит, данное определение не является противоречивым. Ученикам предъявляются слайды с вращающимися моделями
Возникает вопрос: существуют ли другие виды правильных многогранников, а если существуют, то конечное или бесконечное число видов?
Обычно учащиеся называют ещё тетраэдр. Следует отметить, что эти правильные многогранники были построены ещё Пифагором в 6 в. до н.э. (Гиперссылка на энциклопедическую статью Пифагор; портрет Пифагора). Учащимся можно сообщить без всякого обоснования, какое число граней имеет каждый из пяти видов правильных многогранников.
Возможен и методически целесообразен другой путь определения видов правильных многогранников, опирающийся на известную теорему Эйлера о соотношении между числом вершин, граней и рёбер любого многогранника, ограниченного односвязной поверхностью.
Следует предложить учащимся путём подсчёта числа вершин (В), числа граней (Г) и числа рёбер (Р) конкретных видов многогранников (треугольной и четырёхугольной призмы, бипирамиды, пирамидального куба; многогранника, полученного из куба путём срезания всех трёхгранных углов). Во всех случаях получается В+Г-Р=2. Возникает гипотеза, что данное равенство имеет место для всякого многогранника. Однако если взять, например, многогранник, который получится, если вырезать из правильной усечённой пирамиды правильную призму, верхнее основание которой совпадает с верхним (меньшим) основанием усечённой пирамиды, то в многограннике В=12, Г=8, Р=20 и В+Г-Р=1. Тестовое задание из 3-х слайдов. Чем же отличается данный многогранник от всех названных выше? Это различие заключается в том, что любой замкнутый разрез (разрез по замкнутому контуру) поверхности первых многогранников разделяет её на два отдельных куска., на поверхности последнего можно произвести такой разрез по замкнутому контуру, что поверхность на два куска не распадается. Поверхность, распадающаяся на два отдельных куска, при любом замкнутом разрезе называется односвязной. Работа с ИО (моделями) позволит легко вести это определение. Оказывается равенство В+Г-Р=2 имеет место только для односвязных многогранников.
Теорема Эйлера. Если многогранник ограничен односвязной поверхностью, то сумма чисел его вершин и граней на 2 больше числа его рёбер, т.е. В+Г-Р=2
Доказательство: Произведём замкнутый разрез поверхности по контуру какой-либо грани и удалим её ( это возможно, так как поверхность односвязная).
Представим, что оставшаяся часть сделана из тонкой эластичной плёнки, позволяющей растянуть её на плоскости при сохранении числа её вершин, рёбер и граней (неважно, что при этом рёбра могут искривляться). На плоскости получается В вершин, Р линий, соединяющих вершины (мы их, по-прежнему, назовём рёбрами), и Г =Г'-1 областей ( которые мы назовём гранями). Очевидно, что для полученной сетки следует доказать, что В+Г' -Р=1 . Докажем, что выражение В+Г' -Р не меняет своего значения, если провести в любой грани диагональ.
Действительно, после проведения одной такой диагонали в сетке число вершин не изменится, граней и рёбер станет на одну больше. В+(Г' +1) – (Р+1) = В + Г' - Р. Доказываемое выражение для новой сетки равно доказываемому выражению для старой сетки.
Пользуясь этим свойством, разобьём сетку на треугольники проведением диагоналей и докажем для триангулированной сетки равенство В+Г' - Р =1 методом математической индукции.Если сетка состоит из одного треугольника, то В=3, Г' =1, Р=3,3+1 – 3=1 Верно.
Пусть равенство имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней (n+1)-й треугольник. Его можно присоединить двояко: либо, как треугольник АВС – одной стороной к контуру сетки; либо как треугольник MNL – одним углом к контуру.
В первом случае новая сетка будет иметь В+1 вершин, Г' + 1 граней и Р+ 2 рёбер.(В+1) + (Г' + 1) – (Р+2)=В+Г -Р Верно.
Во втором случае новая сетка будет иметь В вершин, Г +1 граней и Р+1 рёбер.В + (Г' +1) – (Р+1)= В+Г' - Р
Таким образом, при любом присоединении (n+1)-го треугольника выражение не меняется и если оно равнялось 1 для n треугольников, оно равняется 1 и для сетки из (n+1)-го треугольника. Поэтому для данного многогранника имеет место равенство В+Г – Р =2.
На основании теоремы Эйлера доказывается теорема о существовании 5 различных видов правильных многогранников и легко определяется число граней, вершин и рёбер каждого из этих видов.
Пусть грани правильного многогранника, существование которого доказываем,- правильные m-угольники, а его многогранные углы n-гранные, причём, очевидно, должно быть m>=3, n>=3. По формуле Эйлера В+Г-Р=2
Подсчитаем число рёбер по числу граней. Так как в каждой грани m рёбер, а всего граней Г, то число рёбер всех граней mГ, и так как каждое из этих рёбер принадлежит двум смежным граням, то число рёбер многогранника в два раза меньше, т.е.P=mГ/2; Г=2Р/m
Подсчитаем теперь число рёбер другим способом, по числу вершин.
Так как в каждой вершине сходится n рёбер, а число вершин В, то число рёбер, сходящихся во все вершины, nВ, и так как каждое ребро проходит через две вершины, то число рёбер многогранника в два раза меньше, т.е. P=nB/2 или B=2P/n . Подставив найденные значения в формулу Эйлера получаем: 2P/n+ 2Р/m - P=2; т.к. Р>0, то 2/n+ 2/m - 1>0
Так как m и n ограниченные снизу (m>=3, n>=3) , то используем неравенство:2/n+ 2/m > 1, чтобы найти их верхние границы.
Это неравенство можно записать в виде m+n> mn/2 . Сразу видно, что m и n должны быть меньше 6, иначе их сумма не будет больше их полупроизведения. Исключается случай, когда m=5 и n=5, и когда m=5 и n=4 (или m=4 и n=5).
Таким образом, указанной выше системе условий удовлетворяют следующие пары чисел:
m 3 3 4 5 3
n 3 4 3 3 5
Таким образом, существует точно 5 видов правильных многогранников.
Использование моделей КМ позволяет получить полное представление о правильных многогранниках (платоновых телах).
Легко определить и число вершин, граней и рёбер каждого из этих видов правильного многогранника. Запишем результаты в таблицу.
В завершении урока учащимся предлагается работа с тренажёром на определение числа граней , рёбер, вершин правильных многогранников. При этом демонстрируются вращающиеся модели. Можно обратиться к биографии Платона, которым были построены все пять многогранников.
